В докладе рассматривается проблема аналитического продолжения гипергеометрической функции N комплексных переменных, введенной в работе Дж. Лауричеллы 1893 года. При произвольном N указан полный набор формул аналитического продолжения этой функции за границу единичного поликруга, где она первоначально определена в виде N-кратного гипергеометрического ряда. Такие формулы представляют функцию Лауричеллы в подходящих подобластях N-мерного комплексного пространства в виде других обобщенных гипергеометрических рядов класса Горна, являющихся решениями той же системы уравнений с частными производными, которой удовлетворяет и функция Лауричеллы. В работе также обсуждается приложение полученных формул к решению проблемы параметров интеграла Кристоффеля — Шварца в ситуации «кроудинга». Представлены результаты вычисления конформного отображения многоугольников сложного вида.