Для получения унитарных представлений группы сдвигов на прямой ставится задача описать трансляционно инвариантные меры на вещественной оси. Помимо единственной счетно-аддитивной сигма-конечной борелевской меры Лебега интерес представляют банаховы меры (конечные, но не счетно-аддитивные) и считающая мера (счетно-аддитивная, но не сигма-конечная). Исследованы пространства функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантным мерам, и преобразования Фурье в них.
Исследованы свойства случайных блужданий, порождаемых сдвигами на вещественной прямой, снабженной трансляционно инвариантными мерами — Лебега, Банаха и считающей. Также рассмотрены полугруппы, полученные при усреднении случайных блужданий по полугруппе (относительно операции свертки) гауссовских мер. В зависимости от выбора трансляционно инвариантной меры на прямой такая полугруппа может быть либо слабо непрерывной, либо разрывной полугруппой, мгновенно обнуляющей любое начальное состояние. В последнем случае динамика состояний описывается в терминах эволюции значений квадратичных форм операторов из алгебры, реализующей представление канонических коммутационных соотношений.