В последние годы российскими учеными, в том числе, совместно с зарубежными коллегами, были получены прорывные результаты по теории интегрируемых биллиардов. В их число входит доказательство А. А. Глуцюком, А. Е. Мироновым и М. Бялым, В. Ю. Калошиным и А. Соррентино ряда формулировок гипотезы Биркгофа о неинтегрируемости биллиардов на плоских столах вне нескольких узких классов таких столов (софокусных и круговых);
Однако, недавнее открытие «биллиардных книжек» — нового класса интегрируемых биллиардов на кусочно-плоских CW-комплексах специального вида — позволило показать, что класс интегрируемых биллиардов (включая книжки) станет «весьма широким» в классе всех интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями в смысле слоений на фазовых пространствах (равенство классов — гипотеза Фоменко о биллиардах).
«Биллиардные книжки» склеены из двумерных плоских столов интегрируемых биллиардов (т.е. ограниченных софокусными квадриками либо концентрическими окружностями и их радиусами) по общим дугам границы. Перестановки на ребрах — «корешках» книжки — задают переход шара с одного листа книжки на другой после удара о границу плоского куска. Конструкция хорошо комбинируется с уже известными: добавляется потенциал или магнитное поле. Доклад будет посвящен связи биллиардов нового класса и слоений Лиувилля классических интегрируемых гамильтоновых систем.