Диссертация является фундаментальным исследованием в области современной теории случайных процессов. В последние 20 лет большое число публикаций, выполненных в ведущих научных центрах России и за рубежом, посвящено моделям, описывающим поведение популяций частиц (генов, особей) в пространстве и времени с помощью ветвящихся случайных блужданий (ВСБ). Стохастические модели такого рода позволяют одновременно учитывать два механизма случайности. Первый связан со случайными перемещениями частиц в пространстве, а второй позволяет описывать (случайные) процессы размножения и гибели частиц. Таким образом, ВСБ может рассматриваться как обобщение и случайного блуждания, и ветвящегося процесса — классических объектов теории вероятностей.
Различные модели ВСБ представляют большой теоретический интерес и важны для приложений в биологии, эпидемиологии, популяционной динамике, химической кинетике, статистической физике, теории гомополимеров, теории массового обслуживания и др. Следовательно, тематика диссертационной работы является весьма актуальной. Особых методов исследования, разработанных автором диссертации, требуют модели ВСБ, в которых среди всех точек пространства есть источники ветвления (катализаторы). Такие модели называются каталитическими ветвящимися случайными блужданиями (КВСБ). Наличие даже единственного катализатора уже вызывает большие сложности, а в диссертации удалось исследовать модели с произвольным конечным или счетным периодическим множеством катализаторов, что потребовало развития теории марковских процессов с непрерывным временем.
Главное внимание в диссертации уделено изучению различных вероятностно-геометрических аспектов асимптотического поведения фронта распространения популяции частиц. Автором выполнено целостное исследование взаимосвязанных сложных задач, установлен ряд неулучшаемых результатов, многие из которых носят приоритетный характер. Так, Е.Вл. Булинской решена проблема полной классификации каталитических ветвящихся процессов на основе перронова корня определенной матрицы, предложенной автором, и доказаны важные теоремы о локальных и общих численностях популяции. В эволюции случайного облака частиц обнаружены новые неожиданные эффекты, связанные с тяжестью хвостов распределений скачков случайного блуждания, задающего перемещение частиц в пространстве. При этом впервые дана полная картина, охватывающая легкие, умеренно тяжелые и тяжелые хвосты распределений, существенно обобщающая ряд предшествующих работ.
Выполнено оригинальное исследование скорости распространения популяции частиц в ВСБ с бесконечным периодическим множеством катализаторов, причем результаты сформулированы в виде сильных предельных теорем для расстояния Хаусдорфа между случайным множеством нормированных положений частиц и предельным детерминированным множеством, которое явно указано.
Для полного достижения поставленных целей от автора потребовалось сочетание и развитие широкого спектра теоретико-вероятностных и аналитических методов. Среди них методы теорий восстановления и больших уклонений, мартингальная замена меры и техника каплинга, преобразования Лапласа и Лежандра — Фенхеля, выпуклый анализ и представление комплекснозначных мер в терминах банаховых алгебр, тауберовы теоремы и анализ решений систем нелинейных интегральных уравнений.