В последние годы российскими учеными, в том числе, совместно с зарубежными коллегами, были получены прорывные результаты по теории интегрируемых биллиардов. В их число, безусловно, входят два следующих:

(A) доказательство А.А. Глуцюком, А.Е. Мироновым и М. Бялым, В.Ю. Калошиным и А. Соррентино ряда формулировок гипотезы Биркгофа о неинтегрируемости биллиардов на плоских столах вне нескольких узких классов таких столов (софокусных и круговых);

(B) открытие В.В. Ведюшкиной «биллиардных книжек» — нового класса интегрируемых биллиардов на кусочно-плоских CW-комплексах специального вида — и доказательство, что класс интегрируемых биллиардов (включая книжки) станет «весьма широким» в классе всех интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями в смысле слоений на фазовых пространствах (равенство классов — гипотеза Фоменко о биллиардах).

«Биллиардные книжки» склеены из двумерных плоских столов интегрируемых биллиардов (т.е. ограниченных софокусными квадриками либо концентрическими окружностями и их радиусами) по общим дугам границы. Перестановки на ребрах — «корешках» книжки — задают переход шара с одного листа книжки на другой после удара о границу плоского куска. Конструкция хорошо комбинируется с уже известными: добавляется потенциал или магнитное поле. В диссертации:

(1) классифицированы «топологические биллиарды» (книжки, независимые циклы в перестановках которых являются транспозициями) в смысле комбинаторики их столов;

(2) для широкого набора книжек (в частности, всех топологических биллиардов) были вычислены их топологические инварианты Фоменко-Цишанга. Эти графы («молекулы») с числовыми метками классифицируют интегрируемые гамильтоновы системы c точностью до послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля — замыканий почти всех их решений (фазовых траекторий). Если у двух систем разной природы совпадают инварианты в выбранной зоне энергии, то особенности их режимов движения в ней устроены одинаково;

(3) биллиардами промоделированы многие знаменитые системы из геометрии, математической физики и динамики твердого тела: волчки Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, системы Горячева-Чаплыгина-Сретенского и Клебша. Для ряда систем их слоение Лиувилля удалось реализовать системой с интегралом меньшей степени (вместо 3 или 4 — будет 2);

(4) алгоритмически построены биллиардные книжки, которые содержат произвольную наперед заданную невырожденную особенность с периодическими траекториями. Такие особенности-атомы соответствуют вершинам молекул Фоменко-Цишанга и задают тип бифуркации регулярных торов Лиувилля;

(5) изучена топология трехмерных поверхностей постоянной энергии для ряда систем биллиардов. Класс таких многообразий оказался не ограничен многообразиями Зейферта (как и для интегрируемых систем, найдены многообразия Вальдхаузена, но не Зейферта);

(6) любая числовая метка реализована в инварианте подходящего биллиарда.

Доказан ряд положений гипотезы А.Т. Фоменко: топология биллиардов оказалась гораздо разнообразнее, чем ожидалось. Их динамика более наглядна, чем у систем механики, а вычисление инварианта по виду стола можно автоматизировать.