В цикле работ изучаются свойства самоподобных компактных множеств (тайлов), сдвиги которых замощают пространство. На их основе строятся различные ортогональные базисы функций, обладающие хорошими аппроксимационными свойствами, в частности, новые системы всплесков (вейвлетов) и аналоги многомерных сплайнов. Рассмотрен ряд приложений к приближениям функций многих переменных, построению и восстановлению поверхностей, а также к теоретическим задачам геометрии и алгебры многочленов. Всплески (вейвлеты) проявили себя как мощный инструмент для обработки сигналов. Задачи сжатия, хранения и передачи сигналов составляют крайне востребованное и активно развивающееся направление математики, поскольку современные проблемы науки и технологий требуют анализировать и сжимать большие данные. С помощью аппроксимации определенными системами функций, в том числе всплесками, возможно получить экономное представление данных. Всплески также используются в системах компьютерной математики, при численном решении уравнений с частными производными. В 2017 г. французский математик Ив Мейер получил премию Абеля «за решающую роль в разработке математической теории всплесков».
Подход к построению всплесков Хаара на основе фрактальных тайлов стал развиваться с 1990-х гг. в работах К. Грёхенига, Дж. Лагариаса, Я. Вонга, Г. Гельбриха и др. Тайлы являются аналогами единичного отрезка в «матричных системах счисления» и частным случаем аффинных фракталов.
В «Самоподобные 2-аттракторы и тайлы» исследуются геометрические свойства двухциферных тайлов, т. е., состоящих из двух частей. Показано, что вопрос их классификации (с точностью до аффинного подобия) сводится к изучению целочисленных полиномов со свободным коэффициентом ±2 и корнями вне единичного круга, что даёт связь с некоторыми результатами теории чисел. Это позволило получить полную классификацию изотропного случая и привести оценки на количество неизотропных тайлов. Классификация использует три возможных типа на плоскости, которые мы называем Квадрат, Дракон и Медведь. Квадрат — обычный квадрат на плоскости, Дракон — известная (в отличие от Медведя) кривая дракона, популяризированная ещё в 1960-х. Тем не менее, в работе «Многомерные тайловые B-сплайны» важную роль играет именно Медведь. По аналогии с классическими кардинальными B-сплайнами, определяются тайловые B-сплайны как свёртки индикаторов тайлов. Удивительным образом оказывается, что Медведь порождает «сверхгладкие» сплайны, гладкость которых превышает классические B-сплайны, хотя исходный фрактал совсем не гладкий. В статье «Сверхгладкие тайловые B- сплайны» «сверхгладкость» изучена систематически и найдено 20 таких семейств с малым числом цифр.
С использованием сверхгладких тайловых В-сплайнов разработан и исследован новый класс алгоритмов детализации поверхностей (subdivision schemes), которые применяются в многомерной аппроксимации и компьютерной графике. Первые алгоритмы детализации поверхностей появились в 1978 г. в работах Катмулл и Кларк, Ду и Сабин. Эти алгоритмы до сих пор очень популярны в компьютерной анимации. В 2005 г. они получили кинематографическую премию Оскар за технический вклад в мультипликацию.
Показатель гладкости тайлов вычисляется через матричный метод, который основан на вычислении совместного спектрального радиуса (с.с.р.) линейных операторов. Данное понятие было введено в работе Ж. К. Рота и Г. Стрэнга в связи с нормированными алгебрами в 1960, однако только спустя много лет с.с.р. стал крайне востребованным для исследования устойчивости динамических систем, сходимости алгоритмов детализации и т. д. В «Anisotropic refinable functions and the tile B-splines» предложен и реализован новый подход к вычислению точного показателя гладкости по Соболеву тайловых B-сплайнов, работающий не только в изотропном случае, который ранее рассматривался в литературе. «Complete Characterization of Polyhedral Self-Affine Tiles» и "Простые тайлы и аттракторы" закрывают вопрос о классификации полиэдральных тайлов, т. е. являющихся конечным объединением выпуклых многогранников. Ранее эти результаты были известны только при дополнительных ограничениях.