Презентация цикла работ на соискание премии имени М.В. Ломоносова
«Матричные и тензорные методы в математике и приложениях»
6 декабря 2023
11:45 – 12:10
11:45 – 12:10
Тыртышников
Евгений Евгеньевич
Евгений Евгеньевич
доктор физико-математических наук, академик РАН, директор Института вычислительной математики имени Г. И. Марчука РАН, заведующий кафедрой вычислительных технологий и моделирования факультета ВМК МГУ
Тыртышников
Евгений Евгеньевич
Евгений Евгеньевич
доктор физико-математических наук, академик РАН, директор Института вычислительной математики имени Г. И. Марчука РАН, заведующий кафедрой вычислительных технологий и моделирования факультета ВМК МГУ
Модератор:
Ильин Александр Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. РАН, ученый секретарь факультета ВМК МГУ
Аннотация цикла:
В представленном цикле работ изучаются прежде всего применения предложенного автором принципа наибольших объемов для билинейной малоранговой аппроксимации и развиваются ``крестовые'' матричные и тензорные методы нелинейной аппроксимации (интерполяции) для сжатия и структуризации данных при решении сверхбольших задач в пространствах высокой размерности.
Созданы основы «тензорной вычислительной математики». Впервые тензоры используются не только как средство описания объектов, но и как метод построения эффективных методов вычислений, в том числе и во вполне классических ситуациях. Они открывают новые направления исследований в целом ряде областей: тензорные методы интерполяции функций, тензорные методы вычисления многомерных интегралов, тензорные методы сжатия и фильтрации изображений, тензорные методы выполнения матричных операций и тензорные методы оптимизации в многомерных пространствах. С помощью новых вычислительных технологий получены содержательные результаты в различных приложениях (задачи астрофизики, докинга, идентификации параметров в моделях иммунологии и др.).
Кроме того, исследуются новые применения матричного признака равнораспределенности, предложенного автором для изучения асимптотического поведения собственных и сингулярных чисел различных семейств матриц и использованного, в частности, для получения обобщений классической теоремы Сеге на случай мер Радона. Получены теоремы об аппроксимации достаточно общего класса теплицевых матриц (в частности, с рациональными символами и символами с логарифмической особенностью) суммой циркулянтной матрицы и матрицы малого ранга.
Получены быстрые алгоритмы приближенного представления матрицы в виде суммы диагональной матрицы и матрицы малого ранга. На их основе построены «наилучшие» циркулянтные предобусловливатели для плохо обусловленных теплицевых матриц. Для широкого класса итерационных процессов со сверхлинейной сходимостью получена теорема о сохранении порядка сходимости для модифицированного процесса, в котором на каждой итерации выполняется проектирование на заданное множество элементов (например, матриц специального вида). Разработан общий подход для создания быстрых алгоритмов для многоуровневых структурированных матриц, основанный на исследовании их тензорных свойств. Для двухуровневых структурированных матриц доказано, что оптимальное приближение меньшего тензорного ранга имеет ту же структуру. Предложены быстрые алгоритмы вычисления тензорной аппроксимации.
Исследована предложенная А. Н. Тихоновым постановка задачи о решении систем линейных алгебраических уравнений, эквивалентных по точности. В 2022 году впервые доказана корректность данной постановки и получены обобщения на случаи использования различных норм, удовлетворяющих определенным условиям.
Созданы основы «тензорной вычислительной математики». Впервые тензоры используются не только как средство описания объектов, но и как метод построения эффективных методов вычислений, в том числе и во вполне классических ситуациях. Они открывают новые направления исследований в целом ряде областей: тензорные методы интерполяции функций, тензорные методы вычисления многомерных интегралов, тензорные методы сжатия и фильтрации изображений, тензорные методы выполнения матричных операций и тензорные методы оптимизации в многомерных пространствах. С помощью новых вычислительных технологий получены содержательные результаты в различных приложениях (задачи астрофизики, докинга, идентификации параметров в моделях иммунологии и др.).
Кроме того, исследуются новые применения матричного признака равнораспределенности, предложенного автором для изучения асимптотического поведения собственных и сингулярных чисел различных семейств матриц и использованного, в частности, для получения обобщений классической теоремы Сеге на случай мер Радона. Получены теоремы об аппроксимации достаточно общего класса теплицевых матриц (в частности, с рациональными символами и символами с логарифмической особенностью) суммой циркулянтной матрицы и матрицы малого ранга.
Получены быстрые алгоритмы приближенного представления матрицы в виде суммы диагональной матрицы и матрицы малого ранга. На их основе построены «наилучшие» циркулянтные предобусловливатели для плохо обусловленных теплицевых матриц. Для широкого класса итерационных процессов со сверхлинейной сходимостью получена теорема о сохранении порядка сходимости для модифицированного процесса, в котором на каждой итерации выполняется проектирование на заданное множество элементов (например, матриц специального вида). Разработан общий подход для создания быстрых алгоритмов для многоуровневых структурированных матриц, основанный на исследовании их тензорных свойств. Для двухуровневых структурированных матриц доказано, что оптимальное приближение меньшего тензорного ранга имеет ту же структуру. Предложены быстрые алгоритмы вычисления тензорной аппроксимации.
Исследована предложенная А. Н. Тихоновым постановка задачи о решении систем линейных алгебраических уравнений, эквивалентных по точности. В 2022 году впервые доказана корректность данной постановки и получены обобщения на случаи использования различных норм, удовлетворяющих определенным условиям.
