Линейные коды с разреженными проверочными матрицами (LDPC-коды) являются важными компонентами современных систем хранения и передачи данных. Их квантовые аналоги служат для защиты квантовой информации от ошибок в работе квантовых компьютеров, открывая путь к масштабируемым отказоустойчивым квантовым вычислениям. Другое важное направление связано с классическими локально тестируемыми кодами, которые позволяют выявлять слова, далёкие от кода, по постоянному числу запросов к их символам. Подобный подход используется в теории вероятностно проверяемых доказательств, применяемой для изучения сложности приближённого решения задач и эффективной проверки вычислений.
Один из главных методов построения классических LDPC-кодов основан на графах-экспандерах, часто получаемых как поднятия графов. Свойства таких конструкций позволяют получать коды со сколь угодно малой избыточностью, линейно растущим с длиной кода минимальным расстоянием и большой симметрией.
В представленном цикле, включающем семь публикаций 2020−2026 годов, разработано многомерное обобщение этого подхода. Его основу составляет конструкция поднятого произведения: классические LDPC-коды с симметриями, полученные через поднятия графов, рассматриваются как цепные комплексы над групповой алгеброй, после чего берётся произведение таких комплексов. Эта общая идея используется для построения асимптотически хороших квантовых LDPC-кодов и классических локально тестируемых кодов, предложенных авторами в 2021 году. В их более ранних работах также показано, что некоторые конкретные коды, полученные через поднятое произведение, могут очень эффективно декодироваться на практике.
Ключевую роль в многомерных асимптотически хороших конструкциях данного цикла работ играет свойство расширения произведения локальных кодов, обобщающее понятие минимального расстояния в одномерном случае. В работе 2023 года доказано, что произведение двух случайных двоичных линейных кодов заданных скоростей с высокой вероятностью обладает хорошим расширением. В 2025 году аналогичный результат был получен уже для произведения произвольного фиксированного числа кодов над достаточно большим полем. Данный результат открыл дорогу к решению другой важной проблемы: построения асимптотически хороших квантовых локально тестируемых кодов, то есть квантовых LDPC-кодов, обладающих одновременно свойством локальной тестируемости.
Значение результатов цикла выходит за рамки теории кодирования и теории сложности. В частности, некоторые из открытых авторами квантовых кодов были использованы другими исследователями для построения римановых многообразий с экстремальными систолическими свойствами.