Представленный цикл посвящен развитию качественных методов анализа сложных систем из механики и математической физики, которые интегрируемы, т. е. имеют «достаточное» количество законов сохранения — первых интегралов.
Ранее в работах А. Т. Фоменко и его научной школы была построена теория топологической классификации таких систем. Системе в неособой зоне энергии отвечает конечный граф с метками (инвариант Фоменко — Цишанга). Семейства регулярных слоев-торов, движение по которым квазипериодично, отвечают ребрам графа, а особые слои слоения, содержащие периодические траектории — его вершинам. Совпадение графов двух систем означает возможность одновременно перевести замыкания траекторий одной системы в замыкания траекторий другой. Подход позволяет избежать как аналитических трудностей (поиск явного решения), так и проверки устойчивости компьютерного моделирования. Ранее он успешно применялся к системам из механики и физики, в т. ч. классическим системам Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
Теория биллиардов находится в фокусе внимания математического сообщества: в ведущих журналах (в т.ч. в Annals of Mathematics) опубликован ряд работ по доказательству гипотезы Биркгофа, ограничивающей класс интегрируемых биллиардов на плоских столах классом софокусных столов. Гипотеза Фоменко о биллиардах (2019), напротив, утверждает широту класса интегрируемых биллиардов среди интегрируемых систем с топологической точки зрения — совпадения замыканий их решений. Основой ее доказательства стало открытие новых классов биллиардов, обобщающих классические.
• Оказались верны ключевые пункты гипотезы Фоменко о биллиардах. Открытие новых классов биллиардов: систем на склеенных столах с коммутирующими перестановками (биллиардные книжки Ведюшкиной) позволило наглядно промоделировать многие известные системы из физики и механики подходящими биллиардами. Сложные траектории в многомерном фазовом пространстве системы отвечают движению шара по склеенному столу сложной формы и комбинаторики.
• Обнаружен неожиданный эффект понижения степени: хотя степень интеграла некоторых систем нельзя понизить аналитически с 3 или 4 до 1 или 2 (линейного или квадратичного интеграла), но оказалось возможным построить биллиард с квадратичным интегралом, имеющий такое же слоение Лиувилля.
• Введенный Фоменко класс биллиардов с проскальзыванием моделирует геодезические потоки на неориентируемых поверхностях с интегралами степени 1 и 2. Для геодезических потоков на ориентируемых поверхностях моделирование построено Ведюшкиной и Фоменко с применением биллиардных книжек.
• Введение Фоменко класса эволюционных биллиардов вскрыло ранее неизвестную связь классических систем Эйлера и Лагранжа — их «биллиардную эквивалентность»: моделирующие их эволюционные биллиарды переходят друг в друга при деформации стола, переводящей эллипсы с общими фокусами в окружности с общим центром. В отличие от биллиардных книжек, эволюционный биллиард (как и биллиарды с потенциалом) позволяет реализовывать одним биллиардом режимы движения системы сразу в нескольких неособых зонах ее энергии.
• Классифицированы софокусные биллиарды на неограниченных столах.
• Для задачи движения тела в жидкости (система Чаплыгина) и ряда интегрируемых биллиардов вычислены функции вращения, являющиеся инвариантами траекторной эквивалентности, т. е. соответствия систем, переводящего траектории одной системы в траектории другой. Это также дало изящное доказательство классической теоремы Грейвса об эллипсе (19 век) и ее аналогов.
• Аналог теоремы Якоби-Шаля о свойстве касательных к геодезической на эллипсоиде оказался верен для пересечения k софокусных квадрик в псевдоевклидовом пространстве, на n-мерной сфере или в n-мерном пространстве Лобачевского.